Skąd w Wielkiej Piramidzie wzięła się liczba Pi?

Pira­mi­da Chufu (znanego szerzej dzięki Grekom jako Cheops) to zde­cy­do­wa­nie jeden z naj­bar­dziej wypa­sio­nych pro­jek­tów w dzie­jach naszego gatunku. Pier­wot­nie jej wyso­kość wyno­si­ła 146,6 metra, przy dłu­go­ści pod­sta­wy 230,4 metra. Pozo­sta­wa­ła naj­wyż­szą budowlą świata przez kolejne 3800 lat, aż do ukoń­cze­nia przez Angli­ków w 1311 roku Katedry w Lincoln.

Jednak ponad­cza­so­wy urok Wiel­kiej Pira­mi­dy tkwi nie tyle w gaba­ry­tach, co w pre­cy­zji wyko­na­nia oraz zaklę­tych w niej pro­por­cjach. Dość powie­dzieć, że naj­więk­sza różnica między bokami kwa­dra­to­wej pod­sta­wy nie prze­kra­cza 4,4 cen­ty­me­tra – zale­d­wie 0,02%. Przy­po­mi­nam sobie o tym fakcie za każdym razem, kiedy patrzę na płytki w mojej łazience.

W każdym razie, w XIX wieku przy­szła wielka moda na pira­mi­do­lo­gię. Histo­ry­cy, inży­nie­ro­wie oraz zwykli ama­to­rzy zaczęli dogłęb­nie stu­dio­wać wymiary monu­men­tu z Gizy, prze­ści­ga­jąc się w znaj­dy­wa­niu kolej­nych tajem­ni­czych zależ­no­ści. Oto dwie, o których do dzisiaj mówi się najwięcej.

Jeżeli weź­miesz połowę obwodu pod­sta­wy, czyli długość dwóch boków (s = 230,4 m, s2 = 460,8 m) i podzie­lisz ją przez wyso­kość pira­mi­dy (h = 146,6 m) otrzy­masz wynik:

2s : h = 3,14324

Jak widzisz, zna­leź­li­śmy się całkiem blisko liczby π, której wartość wynosi w zaokrą­gle­niu 3,14159. Dość nie­spo­dzie­wa­nie wysko­czy­ła nam więc tutaj ele­men­tar­na stała mate­ma­tycz­na, wyra­ża­ją­ca sto­su­nek obwodu koła do jego średnicy.

Dorzuć­my jeszcze drugą zależ­ność. Jeżeli zmie­rzysz wyso­kość trój­kąt­nej ściany Pira­mi­dy Cheopsa od szczytu do pod­sta­wy (d = 186,35 m) i podzie­lisz tę wartość przez połowę dłu­go­ści boku pod­sta­wy (s/2 = 115,2 m) to dosta­niesz coś takiego:

d : s/2 = 1,61762

To z kolei przy­bli­żo­na wartość liczby φ (czyt. fi = 1,61803), którą praw­do­po­dob­nie lepiej koja­rzysz pod nazwą złotego podzia­łu lub złotej pro­por­cji. Mamy z nią do czy­nie­nia, kiedy dzie­li­my odcinek w taki sposób, aby dłuższa część podzie­lo­na przez krótszą dawała taki sam wynik, jak podzie­le­nie całości przez część dłuższą. (Zna­la­złeś metrowy kijek. Jeśli chcesz go złamać na dwie części, zacho­wu­jąc złotą pro­por­cję, to pierw­szy frag­ment powi­nien mierzyć 61,8 cm, drugi 38,2 cm, bo 61,8 : 38,2 = 1,618, podob­nie jak 100 : 61,8 = 1,618).

Woooow. Czy Egipcjanie zawarli te liczby w Wielkiej Piramidzie celowo?

Właśnie to pytanie od dawna rozpala umysły mate­ma­ty­ków, arche­olo­gów, archi­tek­tów, a przede wszyst­kim kone­se­rów filmów opa­trzo­nych żółtymi napi­sa­mi. Bo jeżeli budow­ni­czo­wie zako­do­wa­li w swoim dziele różne stałe, to może chcieli przy­cią­gnąć naszą uwagę? Może pró­bo­wa­li powie­dzieć nam coś ważnego?

Nie­któ­rzy wierzą wręcz, że pre­cy­zyj­nie dobrane pro­por­cje cudu świata, miały nadawać bryle jakichś nad­na­tu­ral­nych wła­ści­wo­ści. W 1959 roku niejaki Karel Drbal zare­je­stro­wał patent na “urzą­dze­nie do utrzy­my­wa­nia ostro­ści żyletek i brzytew”. Była to minia­tu­ro­wa, 8‑centymetrowa wersja pira­mi­dy Cheopsa, która rzekomo spra­wia­ła, że umiesz­cza­ne w niej stę­pio­ne ostrza, po paru dniach w cudowny sposób nabie­ra­ły ostro­ści. Oso­bli­wy wyna­la­zek z Cze­cho­sło­wa­cji okazał się praw­dzi­wym prze­bo­jem euro­pej­skich bazarów.

Producenci maszynek do golenia go nienawidzą.

Na pewno, ale skupmy się na liczbie pi. Główna kon­tro­wer­sja polega na tym, że Egip­cja­nie tamtego okresu nie posłu­gi­wa­li się świa­do­mie war­to­ścią ludol­fi­ny – na pewno nie w naszym rozu­mie­niu. Wiemy o tym, ponie­waż autor papi­ru­su Rhinda (taki kultowy pod­ręcz­nik mate­ma­ty­ki z XVII wieku p.n.e.) bardzo kon­kret­nie opisał egipską metodę obli­cza­nia pola okrą­głej działki. 

Zamiast mnożyć 3,14 razy promień koła pod­nie­sio­ny do kwa­dra­tu (πr²) – jak uczy­nił­by każdy uczeń współ­cze­snej pod­sta­wów­ki – radził on pomno­żyć śred­ni­cę koła przez 8/9 i pod­nieść całość do kwadratu.

Uzy­ski­wa­ne w ten sposób wyniki były nieco zawy­żo­ne, tak jakby pi wyno­si­ła 3,16 zamiast 3,14. Oczy­wi­ście to wciąż niezłe przy­bli­że­nie, które nawet dzisiaj zado­wo­li­ło­by nie­jed­ne­go inży­nie­ra. Powsta­je jednak pytanie, dla­cze­go liczba pi rzekomo zako­do­wa­na w pira­mi­dzie, miałaby być inna (i dokład­niej­sza) od “liczby pi” wyni­ka­ją­cej z egip­skie­go podręcznika?

Papirus Rhinda, ani inne źródła, nie zawie­ra­ją również żadnych wzmia­nek o liczbie φ. Nie jest to może kate­go­rycz­ny dowód, ale na razie bez­piecz­nie załóżmy, że Egip­cja­nie nie znali też złotego podziału.

To jak wytłumaczyć obecność w piramidzie dwóch ważnych liczb?

Mogłoby to wynikać z samego sposobu pracy budow­ni­czych. Przez długi czas roz­wa­ża­no wariant, jakoby sta­ro­żyt­ni mie­rzy­li odle­gło­ści tocząc koło i zli­cza­jąc liczbę jego obrotów. W pionie nato­miast mogli podawać wyso­kość liczoną w śred­ni­cach tego koła. W ten sposób liczba pi – sto­su­nek między śred­ni­cą i obwodem koła – samo­ist­nie ujaw­nia­ła­by się w pro­por­cjach budynku, nawet bez woli i wiedzy jej architektów.

To proste i natu­ral­ne wyja­śnie­nie, które mogłoby natych­miast zamknąć sprawę. Jest tylko jedno “ale”. Histo­ry­cy wyko­pa­li już sporo egip­skich narzę­dzi, ale żadne nie przy­po­mi­na instru­men­tu mier­ni­cze­go w formie koła. Jest to więc fajna hipo­te­za zbu­do­wa­na, nomen omen, na piasku.

Inna opcja zwraca uwagę na metodę usta­la­nia nachy­le­nia ścian pira­mi­dy. Egip­cja­nie posłu­gi­wa­li się genial­nie prostą jed­nost­ką, nazy­wa­ną sekedem. Zamiast mówić “tę ścianę trzeba posta­wić pod kątem 51°85′, antycz­ni pro­jek­tan­ci liczyli, ile palców potrze­ba w pozio­mie, żeby osią­gnąć jeden łokieć kró­lew­ski w pionie (gdzie 1 łokieć = 28 palcom). Krótko mówiąc, im większy seked, tym bar­dziej płaska pira­mi­da, a im mniej­szy – tym bar­dziej stroma.

Więk­szość piramid wzno­szo­no zacho­wu­jąc prak­tycz­ną wartość sekedu 21 albo 22. Nie inaczej było w przy­pad­ku Wiel­kiej Pira­mi­dy, której seked wynosił 22. Teraz tak: jeden łokieć kró­lew­ski był równy 28 palcom, a kiedy podzie­lisz 22 przez 28 otrzy­masz w przy­bli­że­niu 0,785. Wartość pozor­nie bez zna­cze­nia, ale kiedy pomno­żysz ją razy cztery, dosta­niesz dokład­nie… 3,14. Co więcej, 0,785 to również wynik dzie­le­nia 1 przez pier­wia­stek z φ (1,272). Idąc tym tropem, π oraz φ nie byli wcale gośćmi hono­ro­wy­mi tego ban­kie­tu, tylko parą cwa­niacz­ków, którzy weszli na zamknię­tą imprezę tylnymi drzwia­mi, mając nadzie­ję na darmowe zakąski.

22/28 ≈ 0,785 ≈ π/4 ≈ 1/√φ

Jeżeli jednak odrzu­casz ten mate­ma­tycz­ny zbieg oko­licz­no­ści, w grę wchodzi jeszcze opcja pośred­nia. Teo­re­tycz­nie archi­tek­ci mogli świa­do­mie wyko­rzy­stać tylko złotą pro­por­cję, przy tym far­tow­nie uzy­sku­jąc wartość pi. Żeby to pojąć musimy popro­sić o pomoc Johan­ne­sa Keplera, a dokład­niej sięgnąć do tzw. trój­ką­ta Keplera. To taki spe­cjal­ny trójkąt pro­sto­kąt­ny, w którym naj­krót­szy bok a = 1, bok b = pier­wia­stek z φ i prze­ciw­pro­sto­kąt­na c = φ. 

XVII-wieczny uczony chciał w ten sposób pokazać, jak można połą­czyć sławne twier­dze­nie Pita­go­ra­sa z ele­gan­cją złotego podzia­łu. Dla nas inte­re­su­ją­ce jest to, że w pro­por­cjach trój­ką­ta Keplera również czai się pi. Powi­nie­neś już nawet wie­dzieć gdzie: dzieląc 1 przez pier­wia­stek z φ (1,272, długość więk­szej przy­pro­sto­kąt­nej) dosta­je­my 0,785, czyli jedną czwartą 3,14. Czysty mate­ma­tycz­ny przy­pa­dek. Dwa w cenie jednego.

Jeżeli znów spoj­rzy­my na pira­mi­dę i wytnie­my z niej trójkąt pro­sto­kąt­ny, jak na obrazku, to okaże się, że pro­por­cjo­nal­nie jest on bardzo zbli­żo­ny do trój­ką­ta Keplera. 

Problem jest tylko taki, że – jak już usta­li­li­śmy – Egip­cja­nie nie pochwa­li­li się w swoich papi­ru­sach zna­jo­mo­ścią złotego podziału.

Wciąż niewykluczone, że starożytni chcieli nam coś przekazać!

Wiem, byłoby eks­cy­tu­ją­co. Wielka tajem­ni­ca, szo­ku­ją­ce fakty, pod­ręcz­ni­ki pisane od nowa… Nie­ste­ty dla fanów Lary Croft, zgodnie z zasadą eko­no­mii myśle­nia pierw­szeń­stwo należy się naj­prost­sze­mu wyja­śnie­niu danego zja­wi­ska. Jeżeli cała nasza wiedza wska­zu­je, że egipscy archi­tek­ci nie znali π i φ, to należy naj­pierw roz­wa­żać sce­na­riu­sze, w których obec­ność π i φ jest skut­kiem ubocz­nym zasto­so­wa­nych narzę­dzi, jed­no­stek lub metod.

Dopiero w dalszej kolej­no­ści możemy dać szansę hipo­te­zie, że sta­ro­żyt­ni świa­do­mie wkom­po­no­wa­li w swoje dzieło jedną lub obie liczby, a szcząt­ko­we źródła z tamtego okresu, pechowo zwiodły histo­ry­ków na manowce. Jednak nawet wtedy nie ozna­cza­ło­by to wcale, że poddani faraona koniecz­nie chcieli powie­dzieć nam coś ważnego. Jeżeli znali złotą pro­por­cję, mogli jej użyć ot tak, dla este­ty­ki – bez żadnego ukry­te­go celu. Podob­nie φ można odna­leźć w greckim Par­te­no­nie, fran­cu­skiej kate­drze Notre-Dame, czy hisz­pań­skiej Sagrada Familia. Archi­tek­ci i artyści po prostu lubią bawić się ładnymi proporcjami.

A teraz wybacz, ale muszę znaleźć metrów­kę i spraw­dzić czy odle­głość między kanapą a tele­wi­zo­rem nie skrywa przy­pad­kiem jakichś tajem­nic wszechświata.

A TAK W OGÓLE TO… Pira­mi­da Cheopsa trochę zmie­ni­ła wygląd przez prawie 4600 lat swojego ist­nie­nia. W epoce fara­onów bryłę pokry­wa­ły lśniące w słońcu bloki gład­kie­go, białego wapie­nia. Z kolei szczyt kon­struk­cji zdobił tzw. pira­mi­dion – mała pira­mid­ka przy­pusz­czal­nie wyko­na­na ze złota lub srebra. Od tamtego czasu budowla stra­ci­ła prawie 8 metrów wyso­ko­ści. Wszel­kie spe­ku­la­cje na temat wyjąt­ko­wych pro­por­cji pira­mi­dy, dotyczą rekon­struk­cji jej pier­wot­nej formy.