Jak cząstki tunelują przez ściany (i dlaczego jest to naprawdę ważne)?

Załóżmy, że stoi przed tobą ściana. Trochę za wysoka, żeby ją prze­sko­czyć i trochę za gruba, żeby ją przebić. Mimo to, decy­du­jesz się na wyko­na­nie spek­ta­ku­lar­ne­go eks­pe­ry­men­tu, który swego czasu zapro­po­no­wał znany miło­śnik fizyki, Marcin Najman:

Jeśli zrobisz to z odpo­wied­nim impetem, prze­nie­siesz się na sekret­ną ulicę, gdzie spo­tkasz prze­ro­śnię­te­go, wło­cha­te­go gościa, który będzie ci wmawiał, że jesteś wybrań­cem i masz nie­zwy­kłe moce. Nie wierz mu.

Kiedy już odzy­skasz przy­tom­ność, zauwa­żysz, że ściana pozo­sta­ła nie­wzru­szo­na, a na głowie masz wiel­gach­ne­go guza. Tak to działa w świecie fizyki kla­sycz­nej, rzą­dzą­cej rze­czy­wi­sto­ścią dużych obiektów.

W świecie małych obiektów można przenikać ściany?

Od czasu do czasu. Cząstka ele­men­tar­na napo­ty­ka­ją­ca prze­szko­dę, ma nie­ze­ro­wą szansę na spon­ta­nicz­ne zna­le­zie­nie się po jej drugiej stronie. Ten trik wynika wprost z reguł fizyki kwan­to­wej i nosi nazwę efektu tune­lo­we­go albo, jak wolisz, tune­lo­wa­nia kwantowego.

Żeby zro­zu­mieć, dla­cze­go ten fenomen jest możliwy, musimy wyrzu­cić z głowy wygodne reguły gry pozo­sta­wio­ne nam przez sir Izaaka Newtona. Cząstki to byty kwan­to­we i jeżeli coś o nich wiemy na pewno, to tyle, że nie przy­po­mi­na­ją one planet obie­ga­ją­cych Słońce czy kul toczą­cych się po stole bilar­do­wym. (Nie naj­gor­szym pomy­słem byłaby uprzed­nia lektura arty­ku­łu Czym wła­ści­wie jest cząstka?. To tylko sugestia.)

Wszyst­kie maleń­kie obiekty – fotony, elek­tro­ny, kwarki, neu­tri­na, w pewnych oko­licz­no­ściach nawet atomy i całe mole­ku­ły – cha­rak­te­ry­zu­je roz­dwo­je­nie toż­sa­mo­ści. Czasami przy­ła­pu­je­my je jako punk­to­we kor­pu­sku­ły, ale zwykle wolą one prze­by­wać w efe­me­rycz­nej postaci chmury praw­do­po­do­bień­stwa. Do jej opi­sa­nia naukow­cy wyko­rzy­stu­ją wyra­fi­no­wa­ne mate­ma­tycz­ne narzę­dzie, kryjące się pod tajem­ni­czym sym­bo­lem Ψ (psi) – funkcję falową.

Funkcja falowa (a dokład­niej jej moduł do kwa­dra­tu |Ψ|²) nie mówi nam “o, tu jest cząstka”, tylko “tu jest taka, a taka gęstość praw­do­po­do­bień­stwa poja­wie­nia się cząstki”. Oczy­wi­ście ta mate­ma­tycz­na fala praw­do­po­do­bień­stwa, no… faluje. Ewo­lu­uje sobie w czasie, a jej gęstość ulega zmianie w zależ­no­ści od energii, masy, obec­no­ści oddzia­ły­wań i szeregu innych czynników.

A co jeżeli na drodze fali stanie bariera?

Dzieje się coś, czego fizyka kla­sycz­na nie prze­wi­du­je. Zależ­nie od tego z jaką cząstką i z jak grubą barierą mamy do czy­nie­nia, funkcja falowa w pewnym stopniu “prze­cie­ka” na zewnątrz. Jeżeli prze­cie­kła choćby mini­mal­nie, to już pojawia się nie­ze­ro­wa szansa, że cząstka zosta­nie zna­le­zio­na po drugiej stronie barykady.

Dla nas, nie­kwan­to­wych mugoli, wydaje się to nie­po­ję­te, ponie­waż postrze­ga­my mur w kate­go­rii twardej, nie­prze­nik­nio­nej sterty cegieł, od której możemy się co naj­wy­żej odbić.

Mur można przeskoczyć.

Zatrzy­maj­my się przy tym porów­na­niu. Dla cząstki ele­men­tar­nej “ściana” to po prostu bariera poten­cja­łu – strefa pod­wyż­szo­nych kosztów ener­ge­tycz­nych – która ogra­ni­cza jej prze­strzeń. Może więc wydawać się, że tune­lu­ją­ca cząstka robi z grubsza to samo, co czło­wiek pró­bu­ją­cy prze­sko­czyć albo prze­rzu­cić piłkę przez mur: wyko­rzy­stu­je swoją energię, żeby pokonać przeszkodę.

Ist­nie­je jednak fun­da­men­tal­na różnica. Twoje mięśnie mają limit i mogą dostar­czyć piłce tylko okre­ślo­nej porcji energii. Jeżeli murek będzie za wysoki, to bez względu na liczbę pod­ję­tych prób, piłka nigdy nie prze­le­ci nad ścianą. To sytu­acja zerojedynkowa.

Dla rze­czy­wi­sto­ści kwantów ogra­ni­cze­nie tego rodzaju nie jest tak kate­go­rycz­ne. Nie można wyzna­czyć ostrego punktu, od którego koszt ener­ge­tycz­ny unie­moż­li­wia prze­tu­ne­lo­wa­nie przez barierę poten­cja­łu. Powięk­sza­nie prze­szko­dy oczy­wi­ście dra­stycz­nie zmniej­sza praw­do­po­do­bień­stwo zna­le­zie­nia cząstki po drugiej stronie, ale nie redu­ku­je go nagle do zera.

Dla przy­kła­du: barierę o gru­bo­ści pół nano­me­tra i “wyso­ko­ści” 10 eV prze­nik­nie mniej więcej co dzie­się­cio­ty­sięcz­ny elek­tron o energii 7 eV; w przy­pad­ku nano­me­tra będzie to jeden na pięt­na­ście milio­nów, a przy 5 nano­me­trach już tylko jeden na 10³⁸. Mamy tu więc tycz­ka­rza, który na co dzień ostro walczy o prze­su­nię­cie swojego rekordu życio­we­go z 6,01 na 6,02 metra, ale wbrew wszel­kiej logice, za którymś razem może wystrze­lić nawet na 12 metrów.

A gdzie w tym wszystkim zasada zachowania energii?! Halo!

To ten moment, kiedy trzeba wpro­wa­dzić drugi filar mikro­świa­ta, czyli zasadę nie­ozna­czo­no­ści Heisen­ber­ga. W swojej naj­bar­dziej pospo­li­tej wersji, reguła ta stanowi, że nie możesz z dowolną pre­cy­zją okre­ślić jed­no­cze­śnie poło­że­nia i pędu badanej cząstki. Pozna­jąc jedną wartość, zacie­rasz sobie wiedzę o drugiej.

Ale zasada nie­ozna­czo­no­ści sięga głębiej. Okazuje się, że zależ­ność coś za coś dotyczy nie tylko poło­że­nia i pędu, ale również energii i czasu. Im krócej trwa zja­wi­sko kwan­to­we, tym mocniej rozmyta jest jego energia. Werner Heisen­berg pełni tu rolę ban­kie­ra, który ochoczo rozdaje energię na kredyt, na dodatek bez opro­cen­to­wa­nia i porę­czy­cie­li. Pod warun­kiem jednak, że wie­rzy­ciel spłaci dług wystar­cza­ją­co szybko. Niemal natychmiast.

To właśnie daje cząst­kom szansę na robie­nie rzeczy, których duże obiekty nie miałyby prawa dokonać. Elek­tron przez ułamek sekundy żyje ponad stan, prze­śli­zgu­je się na drugą stronę i natych­miast zwraca dług. Nawia­sem mówiąc, ta sama kre­atyw­na księ­go­wość sprawia, że pozor­nie pusta prze­strzeń, nie­ustan­nie kipi od powsta­ją­cych i niemal od razu giną­cych cząstek wirtualnych.

A TAK W OGÓLE TO… Draż­li­wym tematem jest tempo zacho­dze­nia efektu tune­lo­we­go. Uspo­ka­jam jednak, że Ein­ste­inow­ski zakaz prze­kra­cza­nia pręd­ko­ści światła w próżni nie zostaje tu naru­szo­ny. Zamie­sza­nie bierze się stąd, że prze­cie­ka­jąc przez barierę, funkcja falowa zmienia swój kształt: mak­si­mum fali po drugiej stronie może pojawić się nad­spo­dzie­wa­nie szybko, jednak jej front zawsze porusza się z pręd­ko­ścią równą lub mniej­szą niż c.

Niezła sztuczka. Tylko co z tego tunelowania mamy?

Zna­cze­nie tune­lo­wa­nia kwan­to­we­go jest gigan­tycz­ne! Bez niego nie dałoby się w sen­sow­ny sposób wyja­śnić całej sterty pro­ble­mów z zakresu fizyki, astro­fi­zy­ki, chemii, elek­tro­ni­ki, a nawet biologii.

Weźmy choćby zja­wi­sko, dzięki któremu odkryto efekt tune­lo­wy – pro­mie­nio­twór­czość. Nie­któ­re pier­wiast­ki prze­cho­dzą prze­mia­ny, wyrzu­ca­jąc z siebie cząstki alfa (dwa protony + dwa neutrony). 

Tyle, że to nie ma więk­sze­go sensu. W ujęciu kla­sycz­nym cząstki albo mają dosyć energii, żeby pokonać wiążące je oddzia­ły­wa­nia i robią co chcą, albo mają tej energii za mało i grzecz­nie siedzą w wyzna­czo­nym miejscu. W pierw­szym przy­pad­ku jądra atomów roz­le­cia­ły­by się natych­miast, w drugim nukle­ony nie powinny nigdy opusz­czać swojego więzienia.

To reguły mecha­ni­ki kwan­to­wej pozwo­li­ły wytłu­ma­czyć, dla­cze­go protony i neu­tro­ny zwykle trzy­ma­ją się jądra atomu, ale oka­zjo­nal­nie potra­fią igno­ro­wać swoje ogra­ni­cze­nia i wyska­ki­wać na zewnątrz. Praw­do­po­do­bień­stwo takiego zda­rze­nia zależy przy tym od siły wią­za­nia (“wyso­ko­ści ścian”) danego jądra, co wyja­śnia różny czas pół­tr­wa­nia poszcze­gól­nych pierwiastków.

Ale tune­lo­wa­nie ma zna­cze­nie również w sytu­acji odwrot­nej, tzn. w przy­pad­ku fuzji jądro­wej. Wła­ści­wie jest to przy­pa­dek jeszcze waż­niej­szy, bo tylko dzięki niemu gwiazdy mogą świecić.

Że niby tunelowanie pozwala świecić Słońcu?

Tak i to bardzo dosłow­nie. Bez tune­lo­wa­nia żadna prze­ro­śnię­ta kula plazmy, nie pod­trzy­ma­ła­by w swoim wnętrzu reakcji fuzji. 

Jądra wodoru zde­rza­ją się ze sobą z ogrom­nym impetem, łącząc się i emi­tu­jąc przy okazji porcję energii. Ku swojemu zdu­mie­niu astro­fi­zy­cy odkryli jednak, że wnętrze Słońca, mimo wszyst­ko, jest… zbyt zimne. Protony w środku gwiazdy noszą dużą energię, ale nie dość dużą, żeby pokonać wza­jem­ne odpy­cha­nie elek­tro­sta­tycz­ne (barierę kulom­bow­ską) i zbliżyć się na tyle, aby wspól­nie stwo­rzyć jądro helu. Teo­re­tycz­nie Słońce nie powinno działać.

A jednak działa. I to właśnie dzięki tune­lo­wa­niu. Protony nie muszą mieć pełnej energii potrzeb­nej do sfor­so­wa­nia bariery. Wystar­czy, że mają odpo­wied­nio wysokie praw­do­po­do­bień­stwo na jej poko­na­nie. Reszta to kwestia sta­ty­sty­ki: więk­szość pro­to­nów po prostu się od siebie odbija, ale część tune­lu­je, pozwa­la­jąc na zacho­dze­nie fuzji jądro­wej. Słońce świeci, Ziemia nie zamarza, a my żyjemy.

Przy­kła­dy można mnożyć bez końca. Sły­sza­łeś np. o ska­nin­go­wym mikro­sko­pie tune­lo­wym (STM)? Jego igła “wyczuwa” poje­dyn­cze atomy, bo elek­tro­ny prze­cie­ka­ją przez mikro­sko­pij­ną szcze­li­nę między sondą a próbką. W zaawan­so­wa­nej elek­tro­ni­ce bez tune­lo­wa­nia mie­li­by­śmy problem cho­ciaż­by ze skon­stru­owa­niem urzą­dzeń bazu­ją­cych na nad­prze­wod­nic­twie (złącza Jose­ph­so­na, SQUID‑y). Nawet w naszych orga­ni­zmach elek­tro­nom zdarza się prze­ska­ki­wać w łań­cu­chach białek, a nie­któ­re reakcje enzy­ma­tycz­ne zdra­dza­ją ślady tune­lo­wa­nia protonów.

Elektrony, protony… Dlaczego ja nie mogę czasem przetunelować przez ścianę? 🙁

Z efektem tune­lo­wym sprawy mają się podob­nie, jak z każdym innym zja­wi­skiem kwan­to­wym. Nie ma kon­kret­ne­go progu, od którego ciała prze­sta­ją pod­le­gać super­po­zy­cji, nie­ozna­czo­no­ści, duali­zmo­wi kor­po­sku­lar­no-falo­we­mu i całej reszcie. Jednak szansa na zaist­nie­nie takich efektów spada wykład­ni­czo wraz z roz­mia­ra­mi obiektu.

Poje­dyn­czy elek­tron tune­lu­je przez cienką barierę sto­sun­ko­wo często, cięższy proton rza­dziej, a cała mole­ku­ła skraj­nie rzadko i tylko w spe­cy­ficz­nych warun­kach. Ciało makro­sko­po­we – do jakich się zali­czasz – pozo­sta­je złożone z try­lio­nów atomów. Wszyst­kie protony, neu­tro­ny i elek­tro­ny w każdym z tych atomów musia­ły­by w tym samym momen­cie znaleźć się w stanie umoż­li­wia­ją­cym prze­nik­nię­cie przez przeszkodę.

Nie zna­la­złem poważ­nej publi­ka­cji, która pró­bo­wa­ła­by wyli­czyć praw­do­po­do­bień­stwo zajścia takiego zsyn­chro­ni­zo­wa­ne­go, zbio­ro­we­go zda­rze­nia, ale np. fizyk Raheem Hash­ma­ni wspo­mi­na o licz­bach z try­lio­nem bilio­nów zer. Cóż, na papie­rze to nadal więcej niż zero, ale w rze­czy­wi­sto­ści, nawet jeżeli będziesz podej­mo­wał kolejne próby aż do śmierci ciepl­nej wszech­świa­ta, rezul­tat będzie zawsze podobny: